Llevar a cabo una interpolación lineal es muy simple, solo hay que seguir estos pasos:
Paso 1
Determinar el punto incógnita P(x,y).
Paso 2
Establecer los dos puntos que limitan el intervalo donde se encuentra el valor a calcular, es decir, los puntos (xo,yo) y (x1, y1).
Paso 3
Sustituir todos los valores en la ecuación:
Y calcular el resultado.
Ejemplos de interpolación lineal
Ejemplo 1
Se quiere hallar el valor aproximado de ln 3 a través de una interpolación lineal, dados los siguientes valores:
ln 2 = 0.693147 y ln 4 = 1.386294
Comparar el resultado con el valor de ln 3 obtenido a través de una calculadora y determinar el margen error cometido.
Paso 1
Para encontrar el valor aproximado de ln 3 hay que proceder siguiente modo: en primer lugar se establece la incógnita, que es y = ln 3, junto a su correspondiente valor de “x”: x = 3. Este es el punto que se quiere calcular: (3, ln 3).
Paso 2
Después hay que establecer los puntos límites del intervalo con los valores conocidos. Se pide hacerlo con la siguiente pareja de puntos:
- Límite inferior: [xo = 2; yo = ln 2 = 0.693147]
- Límite superior: [x1 = 4; y1 = ln 4 = 1.386294]
Paso 3
Los valores determinados en los pasos 1 y 2 se sustituyen cuidadosamente en la ecuación para generar el resultado de la aproximación a ln 3:
El valor real de ln 3 obtenido mediante calculadora es:
ln 3 =1.098612
Y el margen de error es:
Error = │1.098612 − 1.03971 │= 0.059
El error porcentual de la interpolación se calcula dividiendo el error entre el valor real de ln3 y multiplicando por 100 %:
Error porcentual = (Error/Valor real)× 100 = (0.059/1.098612)×100% = 5.4%
Ejemplo 2
Ahora se desea hallar el valor aproximado de ln 3 mediante interpolación lineal, conocidos estos dos valores:
ln 2.5 = 0.916291 y ln 3.5 = 1.252763
Determinar también el error correspondiente y comparar con los resultados del ejemplo anterior.
Paso 1
De nuevo el punto incógnita es:
y = ln 3, x = 3
Paso 2
- Límite inferior: [xo = 2.5; yo = yo = ln 2.5 = 0.916291]
- Límite superior: [x1 = 3.5; y1 = ln 3.5 = 1.252763]
Paso 3
Examinando el valor ofrecido por la calculadora:
ln 3 =1.098612
Se determina la cota de error en este caso, que resulta:
Error = │1.098612 − 1.084527 │= 0.014
El error porcentual en este caso es ≈ 1.3 %. Comparando con la cota de error del ejemplo 1, el nuevo valor es más preciso, pues el intervalo elegido para interpolar es menor.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Calcular, mediante interpolación lineal, el calor específico del aire a presión constante cp y temperatura de 530 K, partiendo de la tabla de valores que se muestra a continuación.
Solución
En la resolución de muchos problemas es frecuente que el valor que se busca no aparezca exactamente como se desea en la tabla de valores que se tiene a mano. Una alternativa es elegir el valor más cercano al deseado, pero muchas veces basta una interpolación lineal para encontrar una aproximación mucho mejor.
El valor de cp a 530 K no aparece en la tabla adjunta, pero se puede hacer una interpolación lineal con los respectivos calores específicos a 500 K y 550 K, que son las temperaturas más cercanas a 530 K y cuyos calores específicos sí aparecen en la tabla mostrada.
Los respectivos calores específicos a presión constante para dichas temperaturas son:
To = 500 K; cpo = 1.029 kJ /kg∙K
T1 = 550 K; cp1 = 1.040 kJ /kg∙K
Y la incógnita es el punto (500K, cp)
Sustituyendo en la fórmula de la interpolación lineal dada anteriormente, con T en el lugar de la variable “x” y cp en lugar de “y”, se tiene:
Ejercicio 2
La carga aplicada a un resorte (en kilopondios) produce las siguientes elongaciones (en milímetros) de acuerdo a la tabla que se muestra:
Calcular la elongación cuando la carga es 12.6 kp.
Solución
Sea y el valor de la elongación buscada cuando la carga es C = 12.6 kp. El punto incógnita es (12.6, y), que se encuentra entre los puntos:
Co = 10 kp; yo = 105 mm
C1 = 15 kp; y1 = 172 mm
Solo resta sustituir los valores en la ecuación:
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