DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA
Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en un punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en los datos.
Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
diferenciacionmetodo de diferenciacion numerica
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:
Diferencias hacia adelante
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado
Diferencias centrales.
5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8 La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion lineal que pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]
La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este metodo se supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.
Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula:
Reglas de Simpson
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos a las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
Regla de Simpson de 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación.
Si a y b se denominan como x0 y x2 y f2(x) Se representa mediante un polinomio de LaGrange de segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
Regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura.
la integral total se representa como
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene
Regla de Simpson d e 3/8
De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3 , se ajustan polinomios de LaGrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar. I=∫_a^b〖f(x)dx=∫_a^b〖f3.(x)dx〗〗
Para obtener I=(b-a). (f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))/8
En donde h=((b-a))/3 A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.
Regla de Simpson 3/8 múltiples
La regla de 1/3 es en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. De esta manera. Se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo.
Integración con intervalos desiguales
Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando el siguiente orden jerárquico: 1.- Simpson 3/8 Este se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados. 2. Simpson 1/3 Esta se aplica si falla 81) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados. 3. Regla trapezoidal Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)
Ejemplo
Evaluar, usando la siguiente tabla
Solución Vemos que el intervalo [0,0.1] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3, así tenemos las siguientes integrales.
Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores
