DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA

5.1 DERIVACIÓN NUMÉRICA

Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en un punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en los datos.

Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:

Diferencias hacia adelante

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado

Diferencias centrales.

5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8 La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion lineal que pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]

La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este metodo se supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.

Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula:

Reglas de Simpson

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos a las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

Regla de Simpson de 1/3

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación.

Si a y b se denominan como x0 y x2 y f2(x) Se representa mediante un polinomio de LaGrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

Regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples

Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura.

la integral total se representa como

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene

Regla de Simpson d e 3/8

De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3 , se ajustan polinomios de LaGrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar. I=∫_a^b〖f(x)dx=∫_a^b〖f3.(x)dx〗〗

Para obtener I=(b-a). (f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))/8

En donde h=((b-a))/3 A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.

Regla de Simpson 3/8 múltiples

La regla de 1/3 es en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. De esta manera. Se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo.

Integración con intervalos desiguales

Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando el siguiente orden jerárquico: 1.- Simpson 3/8 Este se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados. 2. Simpson 1/3 Esta se aplica si falla 81) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados. 3. Regla trapezoidal Solo se aplica si no se cumple (1) y (2)

Ejemplo

Evaluar, usando la siguiente tabla

Solución Vemos que el intervalo [0,0.1] podemos aplicar la regla del trapecio, en el intervalo [0.1,0.7] la regla de Simpson de 3/8 y en el intervalo [0.7,1.2] la regla de Simpson de 1/3, así tenemos las siguientes integrales.

Finalmente, la integral buscada es la suma de las tres integrales anteriores

5.3 INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

A continuación se define el centro de masa para un sólido tridimensional como un punto p(x,y,z), donde las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función p:R3→R, la cual es continua ∀(x,y,z)εB, entonces el centro de masa es un punto p(x,y,z), donde sus coordenadas son:

Ejemplo

1.- Encuentre el centro de masa de un sólido de densidad constante que esta acostado por el cilindro parabólico x=y^2 y los planos x=z,z=0 y x=1 ϵ={(x,y,z)-1≤y≤1,y^2≤x≤1,0≤z≤x}┤ Entonces, si la densidad es p(x,y,z)=p, la masa es:

Debido a la simetría de E y p respecto al plano xz, se puede decir de inmediato que Mxy=0 y por lo tanto, y=0, los otros momentos son:

Por lo tanto, el centro de masa es:

2.-Área de una figura plana

Calcule el área de la región D, acotada por las graficas x=y^2-2y y x=4-y^2, empleando las integrales dobles. Por lo tanto el área se obtiene:

5.4 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Se usa la regresión para medir la fuerza de la asociación entre dos variables. El coeficiente de correlación es una medida de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. Este requiere de datos de nivel razón. En análisis de regresión utilizamos la variable independiente (x) para estimar la variable dependiente (y); la ecuación de regresión es:

Y´= a +b x

Donde: Y´= es el valor pronosticado de la variable y para un valor seleccionado de x. A= es la coordenada de la intersección con el eje y. X=0 es el valor estimado de y cuando x=0 B= es la dependiente de la recta o el cambio promedio en y’ para cada cambio de la unidad en x. Se utilizara el mínimo cuadrado para obtener a y b.

Ejemplo

5.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Polinomio de Interpolación Newton Supongamos que queremos encontrar los coeficientes [ak] de todos los polinomios P1(x),P2(x),...,PN(x) que nos sirven para interpolar una función dada f(x). Entonces cada Pk(x) es el polinomio de Newton que tiene como nodos x0,x1,...,xk. Para el polinomio P1(x), los coeficientes a0 y a1 tienen un significado familiar:

Despejando a1

Es decir, a1 es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x0,f(x0)) y (x1,f(x1)). Los coeficientes a0 y a1 son los mismos para P1(x) y P2(x). Para continuar, ahora evaluamos la expresión en el nodo x2 y obtenemos:

Donde se Obtiene Como Resultado

Polinomio de interpolación de LaGrange Se desea interpolar f(x)=Tan(x) en los puntos:

x0=-1.5 f(x0)=-14.1014 x1=-1.5 f(x1)=-0.931596 x2=-1.5 f(x2)=0 x3=-1.5 f(x3)=0.931596 x4=-1.5 f(x4)=14.1014

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

La base polinómica es

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas.

Interpolación Segmentada

Interpolar f(x) = 1 / x , en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4 f(1) = 1 f(2) = 0.5 f(4) = 0.25 El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas: (1) 1=a+b (2) 0.5=2a+b

De (1) se obtiene a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene 0.5=2(1-b)+b

Luego b=1.5 Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene a = - 0.5

Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene: (1) 0.5 = 2a + b (2) 0.25 = 4a + b a = - 0.125,b = 0.75 Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75

Mínimos de Cuadrados De acuerdo a la información mostrada a continuación, determina ¿cuáles serán los costos en una jornada de trabajo de 40 horas?